Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M thuộc cung nhỏ BC, vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F.
a) CM: Tứ giác MEFC nội tiếp và góc DBM= góc DEM
b) CM: 3 điểm D, E, F thẳng hàng và MB.MF=MD.MC
c) Gọi V là trực tâm của tam giác ABC. Tia BV cắt (O) tại R. CM: Góc FRV=góc FVR. Từ đó suy ra DE đi qua trung điểm của VM
a. xét MEFC có:
∠MEC=90 (ME⊥BC)
∠MFC=90 (MF⊥AC)
⇒∠MEC=∠MFC=90
⇒tứ giác MEFC nội tiếp
xét tứ giác DBEM có
∠BDM+∠BEM=180
⇒ tứ giác DBEM nội tiếp⇒∠DBM=∠DEM
b.tứ giác ABMC nội tiếp (O)⇒∠DBM=∠ACM
⇒∠DEM=∠ACM
do ∠DEM+∠ACM=180
⇒∠DEM+∠MEF=180 hay D,E,F thẳng hàng
xét ΔMBD và ΔMCF có
∠D=∠F=90; ∠MBD=∠MDF(cmt)
⇒ΔMBD ∼ ΔMCF (g.g)
⇒\(\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MF}\)⇒MB.MF=MD.MC
a) Ta có: \(\angle MEC=\angle MFC=90\Rightarrow MEFC\) nội tiếp
Tương tự \(\Rightarrow DBEM\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle DBM=\angle DEM\)
MEFC nội tiếp \(\Rightarrow\angle FEC=\angle FMC=90-\angle FCM\)
DBEM nội tiếp \(\Rightarrow\angle BED=\angle BMD=90-\angle DBM\)
mà \(\angle DBM=\angle ACM\) (ABMC nội tiếp)
\(\Rightarrow\angle FEC=\angle BED\) mà B,E,C thẳng hàng \(\Rightarrow\) D,E,F thẳng hàng
Xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta MFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MDB=\angle MFC=90\\\angle DMB=\angle CMF\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MDB\sim\Delta MFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MF}{MC}\Rightarrow MD.MC=MB.MF\)
c) BV cắt AC tại G,AV cắt BC tại H,BV cắt MC tại N
Ta có: \(\angle ARV=\angle ACB\left(ARCBnt\right)=\angle BVH\left(=90-\angle CBV\right)=\angle AVR\)
\(\Rightarrow\Delta ARV\) cân tại A \(\Rightarrow AR=AV\)
Tương tự \(\Rightarrow\Delta CVR\) cân tại C \(\Rightarrow CV=CR\) \(\Rightarrow AC\) là trung trực VR
có F nằm trên AC \(\Rightarrow FR=FV\Rightarrow\Delta FRV\) cân tại F \(\Rightarrow\angle FRV=\angle FVR\)
Ta có: \(\angle NRM=\angle BRM=\angle BCM=\angle EFM=\angle NFM\Rightarrow MNRF\) nội tiếp
mà MNRF là hình thang \((MF\parallel NR (\bot AC))\Rightarrow\) MNRF là hình thang cân
\(\Rightarrow\angle MNR=\angle FRN=\angle FVR\Rightarrow\) \(FV\parallel MN\) mà \(MF\parallel NR \Rightarrow\) MNVF là hình bình hành có NF,VM là 2 đường chéo nên cắt nhau tại trung điểm
\(\Rightarrow\) DE đi qua trung điểm VM
