Question

Cho tam giác ABC đường cao AH .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . Gọi Q là giao điểm của NP cắt AH .Chứng minh 

a, MNQH là hình thang vuông 

b, MNPH là hình thang cân 

Answer 1

a) Xét ΔABC có 

P là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: PN//BC và \(PN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay QN//HM; PN//HM

Xét tứ giác MNQH có QN//HM(cmt)

nên MNQH là hình thang có hai đáy là QN và HM(Định nghĩa hình thang)

Hình thang MNQH(QN//HM) có \(\widehat{QHM}=90^0\)(gt)

nên MNQH là hình thang vuông(Định nghĩa hình thang vuông)

b) Xét ΔABC có

P là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: PM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: PM//AC và \(PM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(Gt)

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)

nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MP=HN

Xét tứ giác MNPH có PN//HM(cmt)

nên MNPH là hình thang có hai đáy là PN và HM(Định nghĩa hình thang)

Hình thang MNPH có MP=HN(cmt)

nên MHPH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)