Question

cho tam giác ABC đều, O nằng trong tam giác, gọi H,I,K thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ O, đến BC,AC,AB

CMR: tổng AK+BH+CI ko phụ thuộc vào vị trí điểm O trong tam giác ABC

Answer 1

Đặt AB = BC =CA = a

Qua O kẻ : \(\hept{\begin{cases}DE\text{//}AB\left(D\in BC,E\in AC\right)\\MN\text{//}AC\left(M\in BC,N\in AB\right)\\PQ\text{//}BC\left(P\in AB,Q\in AC\right)\end{cases}}\)

Rõ ràng các tứ giác ABDE , ANMC , PQCB là hình thang và các tam giác ODM , OEQ , ONP là các tam giác đều có OH , OI , OK lần lượt là các đường cao.

Ta có :  BD = AE  ; DH = HM ; CQ = BP ; IQ = IE ; AN = MC ; NK = PK

=> BD + DH + CQ + IQ + AN + NK = AE + HM + BP + IE + MC +PK

=> BH + CI + AK = AI + CH + BK

Mà (BH + CI + AK) + (AI + CH + BK) = AB + BC + AC =3a

=> \(AK+BH+CI=\frac{3a}{2}\) không đổi .

Vậy tổng AK + BH + CI không phụ thuộc vào vị trí điểm O trong tam giác ABC (đpcm)