Question

cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M di động trên BC . Gọi D,E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AB,AC A. Chứng minh chu vi tứ giác ADME không đổi B. Xác định vị trí của điểm M đề tứ giác BDEC nội tiếp được trong đường tròn

Answer 1

a) Do ΔABC đều => AB = BC = AC = a; \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

Xét ΔBDM vuông tại D có: MD = MB.sin\(\widehat{B}\) = MB.sin60^o = MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                           BD = MB.cos\(\widehat{B}\) = MB.cos60^o = \(\dfrac{1}{2}\).MB

ΔCEM vuông tại E có: ME = MC.sin\(\widehat{C}\) = MC.sin60^o = MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                     EC = MC.cos\(\widehat{C}\) = MC.cos60^o = \(\dfrac{1}{2}\).MC

=> Chu vi tứ giác ADME là:

AD + AE + MD + ME = (AB - BD) + (AC - CE) + MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) + MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                  = AB + AC - (BD + CE) + \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)

                                  = AB + AC - \(\dfrac{1}{2}\).(MB + MC) +   \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)

                                   = AB + AC + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).BC

                                   = a + a + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).a = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\).a

Do a không đổi => chu vi tứ giác ADME không đổi 

b) Xét ΔBMD vuông tại D => \(\widehat{M_1}=90^o-\widehat{B}=90^o-60^o=30^o\)

ΔCME vuông tại E => \(\widehat{M_2}=90^o-\widehat{C}=90^o-60^o=30^o\) => 

Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ⇔ \(\widehat{E_2}=\widehat{B}=60^o\)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\) (cmt) => \(\widehat{E_2}=\widehat{C}\). Mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DE // BC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D_1}=\widehat{M_1}=30^o\\\widehat{E_1}=\widehat{M_2}=30^o\end{matrix}\right.\)(hai góc so le trong)

=> \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\left(=30^o\right)\)

=> ΔMDE cân tại M => MD = ME

=> \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MB = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MC => MB = MC => M là trung điểm của BC

Vậy để tứ giác BDEC nội tiếp thì M là trung điểm của BC