Question

Cho tam giác ABC, có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và góc ACB = 60 độ. Tính cạnh BC

Answer 1

Ta có: DE đi qua trung điểm của AB và BC

⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC:

\(DE=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow AC=DE:\dfrac{1}{2}=3:\dfrac{1}{2}=6\)

Áp dụng định lý cosin ta có:

\(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot cosACB\)

\(\Rightarrow9^2=6^2+BC^2-2\cdot6\cdot BC\cdot cos60^o\)

\(\Rightarrow81=36+BC^2-6BC\)

\(\Rightarrow BC^2-6BC-45=0\)

\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-45\right)=216\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BC=\dfrac{6+6\sqrt{6}}{2}=3+3\sqrt{6}\left(tm\right)\\BC=\dfrac{6-6\sqrt{6}}{2}=3-3\sqrt{6}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC=3+3\sqrt{6}\)