Question

cho tam giác ABC có BC lớn nhất. đường tròn tâm I nội tiếp tam giác abc,đường tròn tâm i tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F .qua D kẻ song song AC, cắt EF tại K .chứng minh BE chia đôi DK

 

Answer 1

C₁: (dùng Menelaus) EF cắt BC tại L. Dễ dàng chứng minh AD,BE,CF đồng quy (tại điểm Gergonne), nên \(\dfrac{LB}{LC}=\dfrac{DB}{DC}\Rightarrow\dfrac{BD}{BL}=\dfrac{CD}{CL}\).

Mà \(\dfrac{CD}{CL}=\dfrac{EK}{EL}\Rightarrow\dfrac{BD}{BL}=\dfrac{EK}{EL}\). Đến đây áp dụng định lí Menelaus cho tam giác LKD với cát tuyến BGE là xong.

Bài này có thể tổng quát như sau: Cho tam giác ABC có AD, BE,CF đồng quy. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BE, FE tại G,K thì G là trung điểm KD.

C₂: (dùng hàng điểm điều hoà). EF cắt BC tại L. Dễ dàng chứng minh AD,BE,CF đồng quy (tại điểm Gergonne), nên \(\left(LD,BC\right)=-1\)

\(\Rightarrow E\left(LD,BD\right)=-1\Rightarrow E\left(KD,GC\right)=-1\). Mà EC//KD nên ta có đpcm.

(bài này chắc tác giả chế từ tính chất \(\left(LD,BC\right)=-1\) thôi).