Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH, gọi D, E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,AC,BC.
1)C/m tứ giác BDEF là hình bình hành
2)Lấy K là điểm đối xứng với H qua E, I là điểm đối xứng của H qua D. C/m tứ giác AHCK là hình chữ nhật và ba điểm I,A,K thẳng hàng.
3)Gọi P,Q là trung điểm cua DH và EF. C/m IK + 2HF = 4PQ
bn tự kẻ hình nha!
a) xét tg ABC
có: AD = BD, AE = EC
----> DE// BC // BF ( đường trung bình)
----> DE = 1/2.BC = BF
----> BDEF là h.b.h
b) xét tứ giác AHCK
có: HE = EK ; AE = EC
----> AHCK là h.b.h
mà ^AHC = 90o
---> AHCK là h.c.n
----> \(AK\perp AH⋮A\)(1)
cmtt; ta có: AIBH là h.c.n
----> \(AI\perp AH⋮A\)(2)
từ (1);(2) -----> I,A,K thẳng hàng
c) ta có: PQ là đường trung bình của hình thang HFED ( cm HFED là hình thang thì bn tự cm nha)
-----> \(PQ=\frac{DE+HF}{2}\Rightarrow4PQ=2DE+2HF\)(1)
lại có: DE là đường trung bình của tg HKI ( tự cm nha bn)
----> DE = 1/2. IK -----> 2.DE = IK (2)
từ (1),(2) ----> 4PQ = IK + 2HF
α π √ Ω ∽ ∞ Δ μ ∈ ∉ ∋ ⊂ ∩ ∪ ∀ ∃ ≤ ≥ ∝ ≈ ⊥ ± ∓ ° ωt + φ λ
Hình tự vẽ.
1) BDEF là hình bình hành.
Xét ΔABC có AD = DB (D là trung điểm), AE = EC (C là trung điểm)
=> DE là đường trung bình của ΔABC.
=> DE//BC, DE = 1/2 BC
Mặt khác, ta có: BF = 1/2BC (F là trung điểm của BC)
=> DE = BF mà DE//BC (cmt)
=> BDEF là hình bình hành (đpcm)
2) AHCK là hình chữ nhật. I, A, K thẳng hàng.
Xét tứ giác AHCK có:
AE = EC (E là trung điểm), EH = HK (K đối xứng với H qua E)
=> AHCK là hình bình hành.
Mà ^(AHC) = 90° (GT)
=> AHCK là hình chữ nhật (đpcm)
=> ^(HAK) = 90°
Mặt khác, ta xét tương tự tứ giác BHAI có:
AD = BD (D là trung điểm), DI = DH (I đối xứng với H qua D)
=>BHAI là hình bình hành, mà ^(AHB) = 90°
=> AHBI là hình chữ nhật,
=> ^(IAH) = 90°
=> ^(IAK) = ^(AIH) + ^(HAK) = 90° + 90° = 180°
=> I, A, K cùng nằm trên một đường thẳng
Hay I, A, K thẳng hàng.
3)
Xét ΔIKH có: HD = DI (I đối xứng H qua D), HE = EK (K đối xứng H qua E)
=> DE là đường trung bình của ΔIHK.
=> DE = 1/2IK hay IK = 2DE
Ta có: DE//BC (cmt) => DEFH là hình thang.
Xét hình thang DEFH có: DP = PH (P là trung điểm), QE = QF (Q là trung điểm)
=> PQ là đường trung bình của hình thang DEFH.
=> PQ = (DE + FH)/2
Quy đồng vế phải, ta được: PQ = 2DE + 2FH / 4 (IK = 2DE)
=> 4PQ = IK + 2HF (đpcm)
