Question

Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AM,BN,CK và trọng tâm G. Chứng minh:

a/véc tơ AM + véc tơ BN + véc tơ CK = véc tơ 0 ( đã xong )

b/ véc tơ GM + véc tơ GN + véc tơ GK = véc tơ 0 ( đã xong )

c/ 3.véc tơ AG = 2.(véc tơ AK + véc tơ AN ) 
Làm giúp mình câu c thôi ạ :(

Answer 1

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

Mặt khác AM là trung tuyến nên: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) (1)

K là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AK}\\\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\end{matrix}\right.\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=2\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AN}\right)\)

Answer 2