Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
a, Chứng minh tam giác ABN ∾ ACP và NP/BC=AN/AB
b, Chứng minh AH . AM = AP . AB và AHB = APM
c, Tính tỉ số diện tích của tam giác ANP và tam giác ABC biết BAC = 60
d,Từ N vẽ đường thẳng song song với AB cắt HC tại F từ P vẽ đường thẳng song song với AC cắt HB tại E chứng minh rằng EF//BC
a) Xét \(\Delta ABN\)và \(\Delta ACP\)có:
\(\widehat{A}\)chung
\(\widehat{BNA}=\widehat{CPA}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABN-\Delta ACP\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)
Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ABC\)có :
\(\frac{AN}{AP}=\frac{AB}{AC}\)(chứng minh trên)
\(\widehat{A}\)chung.
\(\Rightarrow\Delta ANP-\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{NP}{BC}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (điều phải chứng minh)
b) Xét \(\Delta PAH\)và \(\Delta MAB\)có:
\(\widehat{APH}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{A_1}\)chung.
\(\Rightarrow\Delta PAH-\Delta MAB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)(2 cặp góc tỉ lệ tương ứng)
\(\Rightarrow AM.AH=AP.AB\)(điều phải chứng minh)
(tiếp) \(\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)\(\Rightarrow\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta PAM\)có:
\(\widehat{A_1}\)chung
\(\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(chứng minh trên)
\(\Rightarrow\Delta HAB-\Delta PAM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{APM}\)(cặp góc bằng nhau) (điều phải chứng minh)
c) Vì \(BN\perp AC\)(giả thiết) \(\Rightarrow\Delta NAB\)vuông tại N
Xét \(\Delta NAB\)vuông tại N có \(\widehat{NAB}=60^0\)(vì \(\widehat{CAB}=60^0\))
Do đó \(AN=\frac{AB}{2}\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}\)
Vì \(\Delta ANP-\Delta ABC\)(theo câu a))
\(\Rightarrow\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AN}{AB}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)(định lí tỉ số 2 tam giác đồng dạng)
Vậy \(\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\)
d) Vì \(PE//AC\)(giả thiết)\(\Rightarrow PE//NC\)
\(\Rightarrow\frac{HE}{HN}=\frac{HP}{HC}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)
\(\Rightarrow\frac{HE}{HP}=\frac{HN}{HC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) (1)
Vì \(NF//AB\)(giả thiết)\(\Rightarrow NF//BP\)
\(\Rightarrow\frac{HF}{HP}=\frac{HN}{HB}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\)\(\frac{HE}{HP}:\frac{HF}{HP}=\frac{HN}{HC}:\frac{HN}{HB}\)
\(\Rightarrow\frac{HE}{HP}.\frac{HP}{HF}=\frac{HN}{HC}.\frac{HB}{HN}\)
\(\Rightarrow\frac{HE}{HF}=\frac{HB}{HC}\)(3)
Xét \(\Delta HBC\)có (3) (chứng minh trên)
Và \(E\in HB;F\in HC\)(giả thiết)
\(\Rightarrow EF//BC\)(định lí Ta-lét đảo) (điều phải chứng minh)
Định lí của tam giác vuông ở phần c) : Nếu 1 tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
