Question

Cho tam giác ABC cân tại C . Gọi M , N lần lượt là giao điểm thứ hai của các cạnh AC và BC với đường tròn tâm O đường kính AB .Chứng minh
a) AM =BN
b) OC là đường trung trực của MN
c) AN//BM. 

Answer 1

a)

Xét (O) có 

\(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ANB}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AMB}=90^0;\widehat{ANB}=90^0\)

Xét ΔAMB vuông tại M và ΔBNA vuông tại N có 

BC chung

\(\widehat{MAB}=\widehat{NBA}\)(ΔABC cân tại C)

Do đó: ΔAMB=ΔBNA(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AM=BN(hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: CM+AM=CA(M nằm giữa C và A)

CN+NB=CB(N nằm giữa C và B)

mà CA=CB(ΔCBA cân tại C)

và AM=BN(cmt)

nên CM=CN

Ta có: CM=CN(cmt)

nên C nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OM=ON(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của MN