Question

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F.

a, Chứng minh: Tam giác BEM=Tam giác CFM.

b, Chứng minh AM là trung trực của EF.

c, Từ B kẻ đường vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A,D,M thẳng hàng

Answer 1

a) Xét tam giác BEM và tam giácCFM

có:BM=MC(gt)

     góc EBM=gócFCM(tam giác ABC can^)
->T/g BEM=t/g CFM(c.huyền g. nhon)

b)

Xét tam giác vg AEM va t/g vg AFM

có:EM=MF(t/g BEM=t/gAFM)

    AM là cạnh chung

->t/g AEM =t/g AFM( c/ huyền -c.góc vg)

->AE=AF(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác AEI và t/g AFI 

có:MF=EM(t/g BEM= t/g CFM)

    AM là cạnh chung

    AF=AE(C/ m trên)

->t/g AEI =t/g AFI(c-c-c)

->EI = IF(2 cạnh tương ứng)

->góc AIE= góc AIF(2 tương ứng)

=>AE là đường trung trực của EF

c(mik ko pt lm) 

Answer 2

a và b bạn Hương Sơn 

c) Ta có: 

\(\Delta ABC\)cân

có AM là đường trung tuyến 

=> AM cũng  là đường trung trực

=> \(AM\perp BC\)

=> AM = 90 độ

Vì \(\Delta ABC\)cân 

=> Góc ABM = góc ACM          (1)

mà Góc ABD = góc ACD = 90 độ            (2)

Từ (1) và (2) => Góc MBD = góc MCD 

Xét \(\Delta DMB\)và \(\Delta DMC\)có :

DM : cạnh chung     (1)

Góc MBD = góc MCD ( chứng minh trên )            (2)

BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC )                  (3)

Từ (1) ; (2) và (3) => \(\Delta DMB=\Delta DMC\)(cạnh - góc - cạnh)

=> Góc CMD = góc BMD ( cặp góc tương ứng)

Mà Góc CMD + góc BMD = 180 độ

=> Góc CMD = BMD = 180 : 2 = 90 độ

Vì Góc AMC = 90 độ ( vì AM là đường trung trực)

và  góc CMD = 90 độ

=> AMC + CMD = AMD

=> 90 + 90 = AMD 

=> AMD = 180 độ

=>   Ba điểm A ; M ; D thẳng hàng. ( điều phải chứng minh)

Chúc bạn học tốt !

Answer 3

Câu b của bạn Dương Thị Hương Sơn dài. Mình làm cách khác ngắn hơn:

\(\Delta BEM=\Delta CFM\)

=> EB=FC, EM=FM

Ta có: AB-EB= AC - FC hay AE=AF

=> A nằm trên đường trung trực của EF (1)

Ta lại có: EM=FM

=> M nằm trên đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: đpcm

^-^ Chúc các bạn học tốt. k ủng hộ cho mk nhé cảm ơn các bạn.

Answer 4

Trần Hương Giang ơi,sai chỗ xét tam giác òy

Answer 5

Các bạn tự vẽ hình nha!!!!!

a) AM là trung tuyến của tam giác ABC nên MB = MC

Tam giác ABC cân tại A nên ˆB=ˆCB^=C^.

ME⊥ABME⊥AB tại E nên ˆBEM=900BEM^=900

MF⊥ABMF⊥AB tại F nên ˆCFM=900CFM^=900

Xét tam giác BEM và tam giác CFM có:

ˆBEM=ˆCFM(=900)BM=CM(cmt)ˆB=ˆC(cmt)⇒ΔBEM=ΔCFM(ch−gn)BEM^=CFM^(=900)BM=CM(cmt)B^=C^(cmt)⇒ΔBEM=ΔCFM(ch−gn)

b)

Gọi HH là giao điểm của AMAM với EFEF. 

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến của tam giác nên cũng là đường phân giác

⇒ˆA1=ˆA2⇒A1^=A2^

Theo câu a, ΔBEM=ΔCFM⇒BE=CMΔBEM=ΔCFM⇒BE=CM (cạnh tương ứng)

AB=AC;BE=CF⇒AB−BE=AC−CF⇒AE=AFAB=AC;BE=CF⇒AB−BE=AC−CF⇒AE=AF

Xét ΔAEHΔAEH và ΔAFHΔAFH có:

AE=AF(cmt)ˆA1=ˆA2(cmt)AHchung⇒ΔAEH=ΔAFH(c−g−c)AE=AF(cmt)A1^=A2^(cmt)AHchung⇒ΔAEH=ΔAFH(c−g−c)

⇒HE=HF⇒HE=HF (cạnh tương ứng)  (1)

ˆAHE=ˆAHFAHE^=AHF^ (góc tương ứng)

Mà

ˆAHE+ˆAHF=1800⇒ˆAHE+ˆAHE=1800⇒2ˆAHE=1800⇒ˆAHE=900⇒AH⊥EF(2)AHE^+AHF^=1800⇒AHE^+AHE^=1800⇒2AHE^=1800⇒AHE^=900⇒AH⊥EF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AMAM là đường trung trực của EF. (đpcm)

c)

BD⊥AB⇒ˆABD=900BD⊥AB⇒ABD^=900

AC⊥CD⇒ˆACD=900AC⊥CD⇒ACD^=900

Xét ΔABDΔABD và ΔACDΔACD có:

ˆABD=ˆACD=900ABD^=ACD^=900

AB=AC(gt)AB=AC(gt)

ADAD chung

⇒ΔABD=ΔACD(ch−cgv)⇒ΔABD=ΔACD(ch−cgv)

⇒ˆBAD=ˆCAD⇒BAD^=CAD^ (góc tương ứng)

⇒D⇒D nằm trên đường phân giác của góc AA.

Mà MM cũng nằm trên đường phân giác của góc AA.

Vậy ba điểm A,D,MA,D,M thẳng hàng (đpcm). 

CHÚC HỌC TỐT!!!!!