Question

cho tam giác ABC cân tại A . trên hai tia AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM + AN = 2AB.   chứng minh rằng trung điểm của MN nằm trên BC

 

 

Answer 1

Từ M kẻ đường song song với AN cắt BC tại K.Gọi I là giao điểm của MN với BC

Ta có: tam giác ABC cân tại Á nên góc B=góc C. Mà MK//AN => góc MKB =góc ABC => góc MKB=góc B=> MB=MK=CN

=> 180độ - góc MKB=180 độ - góc B=> góc MKI=góc ICN

MÀ góc KMN=góc INA (so le trong).

Vậy tam giác MKI bằng tam giác NIC(g.c.g)=>MI=NI(cạnh tương ứng)

=> I là trung điểm của MN

=>đpcm

Answer 2

Mình xét mỗi trường hợp như hình vẽ mà thôi, còn nếu điểm M nằm ngoài đoạn AB thì cũng tương tự nha

Vẽ MH,NK cùng vuông góc với BC

Ta dễ thấy MB=NC

Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNK\)có \(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}=90;BM=CN\)\(;\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\)(vì cùng bằng với\(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\Delta BMH=\Delta CNK\left(CH.GN\right)\Rightarrow MH=NK\)

Xét \(\Delta MHI\)và \(\Delta NKI\)có \(\widehat{HMI}=\widehat{KNI}\)(2 góc so le trong và HM song song với KN);

\(HM=KN;\widehat{MHI}=\widehat{NKI}=90\)

\(\Rightarrow\Delta MHI=\Delta NKI\left(G.C.G\right)\Rightarrow MI=NI\)

Vậy I là trung điểm MN mà I là giao điểm của MN và BC nên ta có điều phải chứng minh

Answer 3

P/s: Có ai biết chèn hình vô phần trả lời không, chứ vẽ trên đây khó kinh