Question

Cho tam giác ABC cân tại A .Trên cạnh AB lấy điểm E.Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE=CF.Nối EF cắt BC tại O.Chứng tỏ OE=OF

Answer 1

Gọi giao điểm của EF và BC là O. Kẻ EH // AF ( H thuộc CB)

Ta có: OEH=CFO ( hai góc so le trong do EH // AF)     (1)

          EOH=COF (hai góc đối đỉnh)                             (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : OEH+EOH=CFO+COF

Mà OEH+EOH = EHB ( EHB là góc ngoài của tam giác EHO)

      CFO+COF =  ACB ( ACB là góc ngoài của tam giác CFO)

Nên EHB=ACB 

Mà ABC=ACB ( tam giác ABC cân tại A)

Nên EHB=ABC

=> tam giác EHB cân tại E 

=> BE = HE

Mà BE=CF

=> EH=CF

Ta có: EHB + EHO =180 ( hai góc kề bù)

          OCF+OCA =180   ( hai góc kề bù)

=>EHB + EHO = OCF+OCA 

Mà EHB=ACO (cmt) nên EHO = OCF

Xét tam giác OHE và OCF ta có :

       OHE=CFO ( hai góc so le trong do EH // AF)

       EH=CF      (cmt)

       EHO = OCF (cmt)

=> tam giác OHE = tam giác OCF (g.c.g)

=> OE=OF ( hai cạnh tương ứng) (dpcm)