Question

cho tam giác abc cân tại A trên AB,AC đặt E,F sao cho AE=AF

a/ Chứng minh BEFC là hình thang cân

b/ gọi I là giao điểm BF,CE và MN lần lượt là trung điểm IB,IC. Chứng minh MNFE là hình thang cân

Answer 1

a) Vì AE = FA ( gt)

=> ∆AEF cân tại A 

=> AEF = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)

Vì ∆ABC cân tại A 

=> ABC = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)

=> ABC = AEF 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> FE//BC 

=> FEBC là hình thang

Mà ∆ABC cân tại A 

=> ABC = ACB 

=> FEBC là hình thang cân (dpcm)

b) Vì ∆ABC cân tại A 

=> AB = AC 

Mà AE = FA 

=> EB = FC 

Mà FEBC là hình thang cân 

=> EC = FB ( tính chất) 

Xét ∆ECB và ∆FBC ta có : 

BC chung 

EC = FB 

ABC = ACB 

=> ∆ECB = ∆FBC (c.g.c)

=> BEC = CFB ( tương ứng) 

Xét ∆EIB và ∆FIC ta có : 

EB = FC (cmt)

BEC = CFB (cmt)

EIB = FIC ( đối đỉnh) 

=> ∆EIC = ∆FIC (g.c.g)

=> IB = IC ( tương ứng) 

=> ∆IBC cân tại I 

=> IBC = ICB

Vì M là trung điểm IB 

N là trung điểm IC 

=> MN là đường trung bình ∆IBC 

=> MN //BC 

=> MNCB là hình thang 

Mà IBC = ICB (cmt)

=> MNCB là hình thang cân