Question

cho tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác của góc B và góc C catf cạnh AB và cạnh AC lần lượt tại D và E. Chứng minh

a) tam giác AED cân 

b) DE // BC

c) BE=ED=DC

Answer 1

a, Ta có: góc ABE = góc EBC = góc ABC/2 

góc ACD = góc DCB = góc ACB/2

mà góc ABC = góc ACB (tg ABC cân tại A)

=> góc ABE = góc EBC = góc ACD = góc DCB

Xét tg ABE và tg ACD có:

góc A chung

AB = AC (tg ABC cân tại A)

góc ABE = góc ACD (cmt)

=>tg ABE = tg ACD (g.c.g)

=> AE=AD

=>tg AED cân tại A

b, Xét tg ABC cân tại A có: góc ABC = góc ACB = (180 độ - góc A)/2

Xét tg AED cân tại A có: góc ADE = góc AED =(180 độ - góc A)/2

=> góc ABC = góc ADE

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>DE//BC

c, DE//BC => góc BED = góc EBC (slt) ; góc CDE = góc DCB (slt)

=> góc BED = góc DBE (góc DBE = góc EBC)

=> tg BDE cân tại D => BE = ED (1)

DE//BC =>  góc CDE = góc DCB (slt)

=> góc CDE = góc DCE (góc DCE = góc DCB)

=> tg DEC cân tại E => ED = DC (2)

Từ (1),(2)=>đpcm

Answer 2

Hình vẽ: 

\(\widehat{B_2}=\frac{180^0-\widehat{A}}{4};\widehat{C_2}=\frac{180^0-\widehat{A}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\Delta BCE=\Delta CBD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)( tính chất tam giác cân )

BC là cạnh chung

\(\widehat{C_2}=\widehat{B_2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BE=DC\)( 2 cạnh tương ứng )

\(AB=AC\)( tam giác ABC cân tại A )

\(AE=AB-BE,AD=AC-DC\)

\(\Rightarrow AE=AD\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\)cân tại A

\(\widehat{E_1}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2};\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{B}\)( 2 góc đồng vị )

\(\Rightarrow ED//BC\)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{EDB}\left(slt\right)\)

mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)( vì BD là tia phân giác )

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{EDB}\)

\(\Rightarrow\Delta EBD\)cân tại E, ta có: 

\(BE=ED\)

mà \(BE=DC\)

\(\Rightarrow BE=ED=DC\)

Answer 3

Góc B2= \(\frac{180-A}{4}\)

Góc C2= \(\frac{180-A}{4}\)

Suy ra góc B2= góc C2

 ΔBCE = ΔCBD ( g.c.g )

 Góc B = góc C( tam giác ABC cân tại A )

BC là cạnh chung

góc C2 = góc B2 ( cmt )

Suy ra:

BE = DC là hai cạnh tương ứng.

AB=AC ( tam giác ABC cân tại A)

AE= AB-BE và AD = AC- DC

Suy ra

AE= AD

Nên tam giác ADE cân tại A.

Góc E1= \(\frac{180-A}{2}\)

Góc B= \(\frac{180-A}{2}\)

Suy ra

Góc E1 = góc B lại đồng vị

Suy ra

ED song song với BC.

Suy ra

góc B2 = góc EDB ( SLT)

mà góc B1 = góc B2 ( BD là phân giác)

Suy ra: 

góc B1 = góc EDB.

Suy ra

tam giác EBD cân tại E có:

BE = ED

Mà BE = DC

Vậy BE=ED=DC