Question

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ CD vuông góc với AB tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. 1) Chứng minh:  ABE= ACD. 2) Chứng minh: IBC cân. 3) Tia AI cắt cạnh BC tại H. Chứng minh: AB^2+HI^2= AH^2+BI^2

Answer 1

1: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACD vuông tại D có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACD

2: Ta có: ΔABE=ΔACD

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD};\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

3: Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔABC

=>AI\(\perp\)BC tại H

Ta có: ΔABH vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2-AH^2=BH^2\left(1\right)\)

Ta có: ΔIHB vuông tại H

=>\(HI^2+HB^2=BI^2\)

=>\(HB^2=BI^2-HI^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB^2-AH^2=BI^2-HI^2\)

=>\(AB^2+HI^2=BI^2+AH^2\)