Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC<90 độ, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tương ứng BC,AC,BA. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH.
1. Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp được
2. Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
3. Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ//BC
4. Gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K,(O2) là đường tròn đi qua M,Q,H; N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M, N, D thẳng hàng.
1: Xét tứ giác BIMK có \(\widehat{BIM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)
nên BIMK là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CHIM có \(\widehat{CHM}=\widehat{CIM}=90^0\)
nên CHIM là tứ giác nội tiếp
2: Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{IBK}+\widehat{IMK}=180^0\)
mà \(\widehat{IBK}+\widehat{ABC}=180^0\)(kề bù)
nên \(\widehat{IMK}=\widehat{ABC}\)(1)
Tacó: CHIM là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{IMH}=\widehat{ICH}=\widehat{ACB}\)(2)
Ta có: ΔABC cân tại A
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{KMI}=\widehat{HMI}\)
=>MI là phân giác của góc KMH
