a ) xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MAC\) có :
\(AB=AC\) ( \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) )
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) ( \(AM\) là đường p/g ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta ABC\) )
\(AM\) chung
do đó : \(\Delta MAB=\Delta MAC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow MB=MC\) ( 2 cạnh tương ứng )
mà \(M\) nằm giữa 2 điểm \(B\) và \(C\)
nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)
xét \(\Delta CAB\) có :
\(M\) là trung điểm \(BC\left(cmt\right)\)
\(M\) // \(AB\left(gt\right)\)
do đó : \(N\) là trung điểm \(AC\) ( định lí 1 đường trung bình của tam giác )
ta có : \(\Delta MAB=\Delta MAC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) ( 2 góc tương ứng )
mà \(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=180^0\) ( 2 góc kb )
nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow\) \(AM\perp BC\)
ta có : \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) (\(AM\perp BC\))
mà \(MN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) (\(N\) là trung điểm của \(AC\))
nên \(MN=\dfrac{AC}{2}\) (định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AN=NC=\dfrac{AC}{2}\) ( \(N\) là trung điểm của \(AC\) )
nên \(MN=AN=NC\)
xét \(\Delta AMN\) có \(NA=NM\left(cmt\right)\)
nên \(\Delta AMN\) cân tại \(N\) ( định nghĩa tam giác cân )
\(\Rightarrow\widehat{NAM}=\widehat{MNA}\) ( 2 góc ở đáy )
b ) xét \(\Delta MNC\) có \(NM=NC\left(cmt\right)\)
nên \(\Delta NMC\) cân tại \(N\) ( định nghĩa tam giác cân )
c ) sửa đề : gọi \(O\) là giao điểm của \(BN\) và \(AM\)
xét \(\Delta ABC\) có :
\(BN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AC\) ( \(N\) là trung điểm của \(AC\) )
\(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) ( \(M\) là trung điểm của \(BC\) )
\(BN\cap AM=\left\{O\right\}\)
do đó \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) ( tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác )
\(\Rightarrow OA=\dfrac{2}{3}AM\) ( tính chất của trọng tâm trong tam giác )
ta có : \(OA+OM=AM\) ( \(O\) nằm giữa \(A\) và \(M\) )
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}AM+OM=AM\)
hay \(OM=AM-\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{1}{3}AM\)
ta có : \(\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AM}{\dfrac{2}{3}AM}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(OM=\dfrac{1}{2}.OA\) (đpcm)
