Question

Cho tam giác ABC. Các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi

H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.

    a) Chứng minh tứ giác DEHK là hình bình hành.

    b) Tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác DEHK là hình chữ nhật.

    c) Khi BD vuông góc với CE thì tứ giác DEHK là hình gì?

Answer 1

a) Ta có:

DE là đường trung bình của tam giác ABC =>DE//= \(\frac{1}{2}\)BC

HK là đường trung bình của tam giác GBC => HK //=\(\frac{1}{2}\)BC (1)

=> DE//=HK => DEHK là hình bình hành

b) DEHK là hình chữ nhật 

điều kiện là: HE vuông góc HK 

mà HE là đường trung bình tam giác ABG => HE//=\(\frac{1}{2}\)AG  

lại có:  HK //=\(\frac{1}{2}\)BC ( theo (1))

=> AG vuông góc BC => AG là đường cao của tam giác ABC (2)

mà hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G => G là trọng tâm tam giác ABC => AG là đường trung tuyến ABC (3)

Từ (2), (3) => tam giác ABC cân

c) Khi BD vuông góc với CE 

=> hình chữ nhật EDKH có EK vuông HD

=> EDKH là hình vuông.