Question

Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC

b) Chứng minh HE.HC = HD.HB

c) Chứng minh H, K, M thẳng hàng

d) Tam giác AEC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Là hình chữ nhật?

Answer 1

a) Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔABD\(\sim\)ΔACE(g-g)

b) Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có 

\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEB\(\sim\)ΔHDC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\)

hay \(HE\cdot HC=HB\cdot HD\)