Question

Cho tam giác AB vuông ở C có góc A = 60 độ. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc AB ( K thuộc AB ) . Kẻ BD vuông góc với tia AE ( D thuộc tia AE ) . Chứng minh
a. AC = AK và AE vuông góc CK
b. KA = KB
c. EB > AC
d. Ba đường thẳng : AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm

Answer 1

Cm: a) Xét t/giác ACE và t/giác AKE

có: \(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^0\) (gt)

   AE : chung

 \(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\) (gt)

=> t/giác ACE = t/giác AKE (ch - gn)

=> AC = AK ; EC = EK (các cặp cạnh t/ứng)

Ta có: +) AC = AK (cmt) => A thuộc đường trung trực của CK

   +) EC = EK (cmt) => E thuộc đường trung trực của CK

Mà A \(\ne\)E => AE là đường trung trực của CK

=> AE \(\perp\)CK

b) Xét t/giác ABC có góc C = 90⁰

=> \(\widehat{A}+\widehat{ABC}=90^0\)

=> \(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{A}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: \(\widehat{CAE}=\widehat{EAB}=\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

=> \(\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=30^0\) => t/giác ABE cân tại E

=> AE = EB

=> AK = KB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

(có thể xét qua 2 t/giác AEK và t/giác BEK)

c) Xét t/giác EKB có góc EKB = 90 độ

=> EB > KB (ch > cgv)

Mà KB = AK (Cmt); AK = AC (vì t/giác ACE = t/giác AKE)

=> EB > AC 

d) Ta có: AC \(\perp\)BC \(\equiv\)C

     KE\(\perp\)AB \(\equiv\)K

      BD \(\perp\)AD \(\equiv\)D

=> AC, BD. KE đi qua 1 điểm (t/c 3 đường cao)

Answer 2

a) Ta có : \(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=30^0.\)

\(\Delta ACE=\Delta AKE\left(CH-GN\right)\Rightarrow AC=AK\)=> \(\Delta ACK\)cân tại A => AE vừa là phân giác, vừa là trung tuyến => \(AE\perp CK\).

b) Từ câu a) => \(\Delta AEB\)cân tại E => AE = EB ; EK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến => KA = KB.

c) Ta có AK \(\perp\)EK, theo quan hệ giũa đường vuông góc và đường xiên, ta có : AE > AK <=> AE > AC (vì AK = AC) <=> EB > AC (vì EB = AE).

d) Xét \(\Delta AEB\)có : \(BD\perp AE,AC\perp BE,EK\perp AB\)=> BD, AC, EK là ba đường cao của tam giác AEB => chúng đồng quy (theo tính chất ba đường cao trong tam giác).