Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\ge\frac{100}{5}=20\Rightarrow x+y\ge20\)
Cho \(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10\). Chứng minh x+y\(\ge\) 20
Cho x,y,z dương. Chứng minh \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)
Cho x,y,z >o. Chứng minh rằng
\(x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Cho x, y, z dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}.\left(x+y+z\right)\)
Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng \(x+y+z\ge-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{xz}\)
Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+3\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+3\sqrt{x}}\ge\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
Cho x, y, z >0 thỏa x + y + z >= 3. Chứng minh rằng : \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
CHứng minh:\(\sqrt{x^2+yz+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}\)
