Question

Cho số phức z 1  thỏa mãn z 1 − 2 2 − z 1 + 1 2 = 1  và số phức z 2  thỏa mãn z 2 − 4 − i = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  z 1 − z 2

A. 2 5 5 .

B. 5 .

C. 2 5 .

D. 3 5 5 .

Answer 1

Đáp án D

Gọi   M x ; y là điểm biểu diễn số phức z 1 . Khi đó  z 1 − 2 2 − z 1 + i 2 = 1

⇔ x − 2 2 + y 2 − x 2 − y + 1 2 = 1 ⇔ − 4 x − 2 y + 2 = 0 ⇔ 2 x + y − 1 = 0

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 1  là đường thẳng Δ : 2 x + y − 1 = 0 .

Gọi N a ; b  là điểm biểu diễn số phức  z 2   . Khi đó  z 2 − 4 − i = 5 ⇔ a − 4 2 + b − 1 2 = 5

Suy ra tâp hợp các điểm N biểu diễn số phức   z 2 là đường tròn C : x − 4 2 + y − 1 2 = 5  có tâm  I 4 ; 1 , bán kính R = 5 .

Nhận thấy   d I ; Δ = 2.4 + 1 − 1 2 2 + 1 2 = 8 5 5 > 5 = R nên đường thẳng  Δ  và đường tròn (C)  không cắt nhau.

Lại có z 1 − z 2 = x − a + y − b i = x − a 2 + y − b 2 = M N . Dựa vào hình vẽ ta thấy  M N min ⇔ M N = d I ; Δ − R   . Vậy  z 1 − z 2 min = 8 5 5 − 5 = 3 5 5   .