Question

Cho S= 1+5+5²+5³+5⁴+...+5²⁰¹⁰

tìm các số sư khi chia S cho 2; cho 10; cho 13

Answer 1

Lời giải:

$S=5^0+5^1+5^2+...+5^{2010}$

Số số hạng của S: $(2010-0):1+1=2011$

Vậy S là tổng của lẻ các số lẻ nên $S$ lẻ.

$\Rightarrow S$ chia 2 dư 1.

Lại có:

$5+5^2+....+5^{2010}\vdots 5$

$\Rightarrow S=1+5+5^2+...+5^{2010}$ chia 5 dư 1.

$\Rightarrow S=5k+1$ với $k$ tự nhiên.

Mà $S$ lẻ nên $k$ chẵn. Đặt $k=2m$ với $m$ tự nhiên thì $S=5.2m+1=10m+1$

$\Rightarrow S$ chia 10 dư 1.

------------------

$S=1+5+5^2+(5^3+5^4+5^5+5^6)+(5^7+5^8+5^9+5^{10})+....+(5^{2007}+5^{2008}+5^{2009}+5^{2010})$

$=31+5^3(1+5+5^2+5^3)+5^7(1+5+5^2+5^3)+...+5^{2007}(1+5+5^2+5^3)$
$=31+(1+5+5^2+5^3)(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=31+156(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=5+26+13.12(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$\Rightarrow S$ chia 13 dư 5.

Answer 2

Lời giải:

$S=5^0+5^1+5^2+...+5^{2010}$

Số số hạng của S: $(2010-0):1+1=2011$

Vậy S là tổng của lẻ các số lẻ nên $S$ lẻ.

$\Rightarrow S$ chia 2 dư 1.

Lại có:

$5+5^2+....+5^{2010}\vdots 5$

$\Rightarrow S=1+5+5^2+...+5^{2010}$ chia 5 dư 1.

$\Rightarrow S=5k+1$ với $k$ tự nhiên.

Mà $S$ lẻ nên $k$ chẵn. Đặt $k=2m$ với $m$ tự nhiên thì $S=5.2m+1=10m+1$

$\Rightarrow S$ chia 10 dư 1.

------------------

$S=1+5+5^2+(5^3+5^4+5^5+5^6)+(5^7+5^8+5^9+5^{10})+....+(5^{2007}+5^{2008}+5^{2009}+5^{2010})$

$=31+5^3(1+5+5^2+5^3)+5^7(1+5+5^2+5^3)+...+5^{2007}(1+5+5^2+5^3)$
$=31+(1+5+5^2+5^3)(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=31+156(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=5+26+13.12(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$\Rightarrow S$ chia 13 dư 5.