Question

Cho pt : x^2 -2(m-1)x -(m+1)=0

Cho x1 và x2 là nghiệm của pt .Tìm m để |x1-x2| có giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m+1=m^2-m+2>0;\forall m\)

Phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|x_1-x_2\right|\ge0\)

\(\Rightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2+4m+4\)

\(=4m^2-4m+8=\left(2m-1\right)^2+7\ge7\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{7}\Rightarrow A_{min}=\sqrt{7}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)