Question

Cho phương trình \(x^2+\left(m-2\right)x-8=0\)

Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) sao cho \(Q=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Mình cần gấp. Mong các bạn giúp mình sớm.

Answer 1

Ta có:  \(\Delta=\) \(\left(m-2\right)^2+4.8>0\)

=> Phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\)phân biệt.

Áp dụng định lí Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m+2\\x_1.x_2=-8\end{cases}}\)=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(-m+2\right)^2+16\)

Khi đó: \(Q=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-1\right)=x_1^2.x_2^2-\left(x_1^2+x_2^2\right)+1=8^2-\left(m-2\right)^2-16+1\)

\(=-\left(m-2\right)^2+49\le49\)

Vậy min Q = 49 tại m=2