Question

Cho phương trình x ^ 2 - mx + m - 1 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1} x_{2} là hai nghiệm của phương trình.

A = \(\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

 

Answer 1

Theo định lí Viete, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Do đó, \(A=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

Với \(A=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{2}\)

Với \(A\ne0\), ta có:

\(Am^2-2m+2A-1=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn m tham số A. Để phương trình trên có nghiệm thì: \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow1-A\left(2A-1\right)\ge0\Leftrightarrow2A^2-A-1\le0\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(2A+1\right)\le0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le A\le1\)

\(A=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=-2\)

\(A=1\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=1\)

Vậy \(MinA=-\dfrac{1}{2};MaxA=1\)