Question

Cho parabol (P): \(y=\dfrac{x^2}{2}\) và đường thẳng (d): \(y=mx+\dfrac{1}{2}\) 

a) C/M (d) luôn đi qua điểm cố định

b) C/M (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm M và N

c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN

Dạ bày em câu (c) với ạ em không biết làm:"(

Answer 1

Pt hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(\dfrac{x^2}{2}=mx+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x^2-2mx-1=0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M+x_N=2m\\x_Mx_N=-1\end{matrix}\right.\)

Gọi I là trung điểm MN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_M+x_N}{2}\\y_I=\dfrac{y_M+y_N}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{2m}{2}=m\\y_I=\dfrac{m.x_M+\dfrac{1}{2}+m.x_N+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{m\left(x_M+x_N\right)+1}{2}=m^2+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_I=x_I^2+\dfrac{1}{2}\)

Hay tập hợp I là parabol có pt: \(y=x^2+\dfrac{1}{2}\)