Xét hằng đẳng thức sau:
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz
= [(x + y)^3 + z^3] - 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)^2 - z(x + y) + z^2) - 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - xz - yz) - 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)
---> x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) + 3xyz
Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:
a^3 + (a + 1)^3 + (a + 2)^3
= (a + a + 1 + n + 2)[ a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 -a(a + 1) - (a + 1)(a + 2) - a(a + 2)] - 3a(a + 1)(a + 2)
= (3a + 3)(a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 - a^2 - a - a^2 - 3a - 2 - a^2 - 2a) - 3a(a + 1)(a + 2)
= 9(a + 1) - 3a(a + 1)(a + 2)
Vì a(a + 1)(a + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết 6
--> 3a(a + 1)(a + 2) chia hết 3.6 = 18 chia hết 9
--> 9(a + 1) - 3a(a + 1)(a + 2) chia hết 9
--> dpcm(Nho :D)
