Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A vẽ 2 tiếp tuyến AB;AC đến đường tròn (O) (B;C làm tiếp điểm). Trên cung lớn BC lấy điểm D sao cho DB<DC, đường thẳng AD cắt (O) tại E (E khác D). Gọi M là trung điểm BC
a/ Chứng minh: AB^2 = AE>AD và 3 điểm A;M;O thẳng hàng (Câu này mình làm được rồi)
b/ Đường thẳng qua A song song với tiếp tuyến vẽ từ D cắt đường thẳng DB;DC tại P và Q.
Chứng minh: tứ giác AEBP nội tiếp và tam giác ABP cân (Câu này cũng đã làm được)
c/ Chứng minh: Trực tâm H của tam giác DQP thuộc đường tròn (O) (Nguyên văn cái đề, không biết đề sai không)
d/ Chứng minh góc BDE = góc MDC và MD.ME = BC^2/4
Cần gấp ạ :)
c. Gọi DK là đường cao của \(\Delta DPQ\)\(\left(K\in PQ\right)\)
F là giao điểm của DK với (O)\(\left(F\ne D\right)\)
Ta có: \(\widehat{OCA}=\widehat{OKA}=90^0\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác OCAK nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{COK}+\widehat{CAK}=180^0\)
Mà \(\widehat{COK}+\widehat{COF}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{COF}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAK}=180^0-\left(\widehat{FCO}+\widehat{CFO}\right)=180^0-2\widehat{FCO}\)(Vì \(\Delta OFC\) cân tại O (OC=OF))
Ta có: \(\widehat{FCD}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{FCO}+\widehat{OCD}=90^0\)
Lại có:\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD}+\widehat{ACD}=90^0\)(tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\widehat{FCO}=\widehat{ACD}\)
\(\Delta CAQ\) có: \(\widehat{CAQ}+\widehat{ACD}+\widehat{AQC}=180^0\)
\(\Rightarrow180^0-2\widehat{FCO}+\widehat{FCO}+\widehat{AQC}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AQC}=\widehat{FCO}=\widehat{ACQ}\)
\(\Rightarrow\Delta CAQ\)cân tại A.
Lại có: AC=AB (Tính chất tiếp tuyến)
AB=AP(\(\Delta ABP\) cân tại A)
\(\Rightarrow AP=AC=AB=AQ\)
\(\Delta CPQ\)có: \(A\in PQ;AP=AC=AQ\)
\(\Rightarrow\Delta CPQ\)vuông tại C.
=>F,C,P thẳng hàng.
=> PC là đường cao của \(\Delta DPQ\)(\(C\in DQ\))
=> F là trực tâm của \(\Delta DPQ\)
=> F trùng với H.
Mà F thuộc (O)
=> H thuộc (O)
