Cho (O) đường kính AB. Lấy điểm H trên OB (H khác O và B). Trên đường vuông góc với OB tại H, lấy M ngoài (O), MA cắt (O) tại C, MB cắt (O) tại D.
1) Tính: góc ACB, góc ADB .
2) MH cắt BC tại I. Chứng minh: A, I, D thẳng hàng.
3) Chứng minh: M, C, I, D cùng nằm trên một đường tròn.
4) Gọi E là trung điểm của MI. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O).
1: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB la đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>\(\widehat{ACB}=90^0\) và BC\(\perp\)MA
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
=>\(\widehat{ADB}=90^0\) và AD\(\perp\)MB
2: Xét ΔMBA có
MH,BC là các đường cao
MH cắt BC tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔMBA
=>AI\(\perp\)MB
mà AD\(\perp\)MB
và AI,AD có điểm chung là A
nên A,I,D thẳng hàng
3: Xét tứ giác MDIC có \(\widehat{MDI}+\widehat{MCI}=90^0+90^0=180^0\)
nên MDIC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MI
=>M,D,I,C cùng thuộc một đường tròn
4: Ta có: ΔMCI vuông tại C
mà CE là đường trung tuyến
nên EC=EI
=>ΔECI cân tại E
=>\(\widehat{ECI}=\widehat{EIC}\)
mà \(\widehat{EIC}=\widehat{MAH}\left(=90^0-\widehat{HMA}\right)\)
nên \(\widehat{ECI}=\widehat{MAH}\)
ΔOCB cân tại O
nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
\(\widehat{ECO}=\widehat{ECB}+\widehat{OCB}=\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
=>EC\(\perp\)CO tại C
=>EC là tiếp tuyến của (O) tại C
