Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác 0). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tâm O tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại điểm H và điểm D. Đường thẳng BH cất nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai N. 1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi E là trung điểm của DH. Chứng minh rằng: NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn (0). 3. Kẻ đường thẳng d là tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn (0). Chứng minh rằng ba đường thẳng d, AB, MN đồng quy.
1: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥MB tại M
=>AM⊥DB tại M
Xét (O) có
ΔANB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔANB vuông tại N
=>NB⊥NA
Xét ΔDAB có
DC,AM là các đường cao
DC cắt AM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔDAB
=>BH⊥DA
=>BN⊥DA
mà NB⊥NA
và AN,AD có điểm chung là A
nên A,N,D thẳng hàng
Xét tứ giác ACMD có \(\hat{ACD}=\hat{AMD}=90^0\)
nên ACMD là tứ giác nội tiếp
2: ΔDNH vuông tại N
mà NE là đường trung tuyến
nên EN=EH
=>ΔENH cân tại E
=>\(\hat{ENH}=\hat{EHN}\)
mà \(\hat{EHN}=\hat{CHB}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{ENH}=\hat{CHB}\)
\(\hat{ENO}=\hat{ENH}+\hat{ONH}\)
\(=\hat{ENB}+\hat{ONB}=\hat{CHB}+\hat{CBH}=90^0\)
=>EN⊥NO tại N
=>EN là tiếp tuyến của (O)
