Cho nửa đường tròn tâm O, đườn kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi C là một điểm trên nửa đường trong (O). Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N.
a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.
c) Chứng minh góc MIN= 90 độ.
Vẽ hình và làm bài chặt chẽ giúp mình với ạ
a: Xét tứ giác MAIC có
\(\widehat{MAI}+\widehat{MCI}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAIC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AMC}+\widehat{AIC}=180^0\left(1\right)\)
Ta có: AM\(\perp\)AB
BN\(\perp\)AB
Do đó: AM//BN
=>\(\widehat{AMN}+\widehat{CNB}=180^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)
Xét (O) có
\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB
\(\widehat{CBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BC
Do đó: \(\widehat{CAB}=\widehat{CBN}\)
Xét ΔCAI và ΔCBN có
\(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)
\(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)
Do đó: ΔCAI đồng dạng với ΔCBN
b: Xét tứ giác ICNB có \(\widehat{ICN}+\widehat{IBN}=90^0+90^0=180^0\)
nên ICNB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{IBC}=\widehat{INC}\)
=>\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C và ΔCIN vuông tại C có
\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)
Do đó: ΔCAB đồng dạng với ΔCIN
c: Ta có: MAIC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MIC}\)
Ta có: NCIB là tứ gáic nội tiếp
=>\(\widehat{NIC}=\widehat{NBC}\)
Ta có: \(\widehat{MIN}=\widehat{MIC}+\widehat{NIC}\)
\(=\widehat{MAC}+\widehat{NBC}\)
\(=90^0-\widehat{CAB}+90^0-\widehat{CBA}\)
\(=180^0-90^0=90^0\)
