Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa (O; R) sao cho C ≠ A; C ≠ B. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa (O; R). Từ O kề đường thẳng song song với BC cắt tia Ax tại M. a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R). b) Gọi E là giao điểm của MB với nửa đường tròn, F là giao điểm của MO với AC. Chứng minh MF.MO = ME.MB.
a: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>CA⊥CB
mà MO//CB
nên MO⊥AC
ΔOCA cân tại O
mà OM là đường cao
nên OM là phân giác của góc AOC
Xét ΔOAM và ΔOCM có
OA=OC
\(\hat{AOM}=\hat{COM}\)
OM chung
Do đó; ΔOAM=ΔOCM
=>\(\hat{OAM}=\hat{OCM}\)
=>\(\hat{OCM}=90^0\)
=>MC là tiếp tuyến tại C của (O)
b: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE⊥MB tại E
Xét ΔMAB vuông tại A có AE là đường cao
nên \(ME\cdot MB=MA^2\left(1\right)\)
Xét ΔMAO vuông tại A có AF là đường cao
nên \(MF\cdot MO=MA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(ME\cdot MB=MF\cdot MO\)
