Ta có: \(VT=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{4n^2}=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{\left(2n\right)^2}\)
\(=\left|2n+1\right|+\left|2n\right|\)
Vì \(n\inℕ\)\(\Rightarrow2n+1>0\); \(2n\ge0\)
\(\Rightarrow\left|2n+1\right|=2n+1\)và \(\left|2n\right|=2n\)
\(\Rightarrow VT=2n+1+2n=4n+1\)
Ta có: \(VP=\left(2n+1\right)^2-4n^2=\left(2n+1\right)^2-\left(2n\right)^2\)
\(=\left(2n+1-2n\right)\left(2n+1+2n\right)=4n+1\)
\(\Rightarrow VT=VP\)\(\Rightarrowđpcm\)
Chứng minh rẳng biểu thức sau luôn nhận giá trị nguyên dương với mọi n nguyên dương
\(T=\left(\sqrt{2n^2+2n+1}+\sqrt{2n^2-2n+1}\right)\sqrt{4n^2+2-2\sqrt{4n^2+1}}\)
vs x thuộc N, cmr
\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}-\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)
Tính \(S=\sqrt{1+\dfrac{8.1^2-1}{1^2.3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{8.2^2-1}{3^2.5^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{8.n^2-1}{\left(2n-1\right)^2.\left(2n+1\right)^2}}\)
Với\(n\in N\)
CMR với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
Đặt \(n^4+n^3+1=@.\)
Với n=1 thì không là số chính phương.
Với \(n\ge2\)thì ta có
\(4@=4n^4+4n^3+4\le4n^4+4n^3+n^2.=\left(2n^2+n\right)^2.\)(1)
Tương tự ta có đc : \(4@>\left(2n^2+n-1\right)^2.\)(2)
Từ (1),(2) \(\Rightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2< 4@\le\left(2n^2+n\right)^2\)
\(\Rightarrow4@=\left(2n^2+n\right)^2.\)
đến đây thì giai pt bậc 4 hoặc bấm máy ra. đc \(n=2\)
Bài 1: CMR
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+........+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}>2,n\varepsilonℕ^∗\)
Bài 2: Cho S= \(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
CMR S<\(\frac{1}{2}\)
CMR: với số nguyên dương \(n\ge2\) ta có \(\frac{2n+1}{3n+2}< \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}+...+\frac{1}{4n+2}< \frac{3n+2}{4\left(n+1\right)}\)
CMR : \(\frac{2.4.6....\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}+1\) là số chính phương với \(n\ge6\)
vs x thuộc N CM
\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\)\(\sqrt{\left(2n+1\right)^2}-\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)
