Question

cho mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (p): y=x^2 và đường thẳng (d) =2-x
Gọi A và B là giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (P).
Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoàng sao cho chu vi tam giác MAB là nhỏ nhất

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(x^2=2-x\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=1\\x=-2\Rightarrow y=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;1\right)\\B\left(-2;4\right)\end{matrix}\right.\)

Do M nằm trên trục hoành \(\Rightarrow M\left(m;0\right)\)

\(MA=\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}\) ; \(MB=\sqrt{\left(m+2\right)^2+16}\)

Chu vi: \(MA+MB+AB=\sqrt{\left(1-m\right)^2+1}+\sqrt{\left(m+2\right)^2+16}+2\sqrt{3}\)

\(\ge\sqrt{\left(1-m+m+2\right)^2+\left(1+4\right)^2}+2\sqrt{3}=\sqrt{34}+2\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{m+2}{1-m}=\dfrac{4}{1}\Rightarrow m=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{2}{5};0\right)\)