Cho \(\log_3a=\log_4b=\log_{12}c=\log_{13}\left(a+b+c\right)\). Hỏi \(\log_{abc}144\) thuộc tập hợp nào sau đây..?
A. \(\left\{\dfrac{7}{8};\dfrac{8}{9};\dfrac{9}{10}\right\}\) B. \(\left\{\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4}\right\}\) C.\(\left\{\dfrac{4}{5};\dfrac{5}{6};\dfrac{6}{7}\right\}\) D.\(\left\{1;2;3\right\}\)
Giải giúp với . ths nha
Lời giải:
Giả sử \(\log _{3}a=\log_4b=\log_{12}c=\log_{13}(a+b+c)=t\)
\(\Rightarrow 13^t=3^t+4^t+12^t\)
\(\Rightarrow \left ( \frac{3}{13} \right )^t+\left ( \frac{4}{13} \right )^t+\left ( \frac{12}{13} \right )^t=1\)
Xét vế trái , đạo hàm ta thấy hàm luôn nghịch biến nên phương trình có duy nhất một nghiệm \(t=2\)
Khi đó \(\log_{abc}144=\log_{144^t}144=\frac{1}{t}=\frac{1}{2}\)
Đáp án B
