Question

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , A B = a , B A C ⏞ = 120 ° , S B A ⏞ = S C A ⏞ = 90 °  Biết góc giữa SB và đáy bằng  60 °  Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. V= a 3 4

B. V= 3 a 3 3 4

C. V= a 3 3 4

D. 3 a 3 4 V=

Answer 1

 

Đáp án C

                                                         

Gọi M là trung điểm BC khi đó B C ⊥ ( S A M )  do AB=AC và SB=SC 

Trong (SAM) kẻ S H ⊥ A M  ta có S H ⊥ A B C  góc S B H = 60 °  , đặt SB=SC=x ta có:

A M = A B . sin   30 ° = 1 2 a , B M = A B . cos   60 ° = a 3 2 ⇒ B C = a 3 , d t A B C = 1 2 A M . B C = 1 2 a 2 a 3 = a 2 3 4 , S H = S B . sin   60 ° = x 3 2 , S A = S B 2 + A B 2 = x 2 + a 2 ,

S M = S B 2 - B M 2 = x 2 - 3 a 2 4 ,   A H = S A 2 - S H 2 = x 2 + a 2 - 3 x 2 4 = 1 2 x 2 + 4 a 2 , M H = S M 2 - S H 2 = x 2 - 3 a 2 4 - 3 x 2 4 = 1 2 x 2 - 3 a 2

Ta có : A H - M H = A M ⇒ 1 2 x 2 + 4 a 2 - 1 2 x 2 - 3 a 2 = 1 2 a ⇔ x 2 + 4 a 2 = x 2 - 3 a 2 + a  

⇔ 3 a = x 2 - 3 a 2 ⇔ x 2 = 12 a 2 ⇒ x = 2 a 3 ⇒ S H = 3 a

 

Như vậy V S A B C = 1 3 S H . d t A B C = 1 3 3 a . a 2 3 4 = a 3 3 4