Question

cho hình vuông ABCD,E thuộc BC qua A kẻ tia Ax vuông góc AE cắt CD tại F.trung tuyết Ay của tam giác AEF cắt CD ở K
a,chứng minh rằng AF² = FK.FC
b,chứng minh rằng khi E di chuyển trên cạnh BC thì chu vi tam giác EKC có giá trị không đổi

Answer 1

a: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{DAE}=\hat{BAD}=90^0\)

\(\hat{FAD}+\hat{DAE}=\hat{FAE}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Xét ΔABE vuông tại B và ΔADF vuông tại D có

AB=AD
\(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)

Do đó: ΔABE=ΔADF
=>AE=AF
=>ΔAEF cân tại A

Xét ΔAEF cân tại A có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên ΔAEF vuông cân tại A

ΔAEF vuông cân tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK là phân giác của góc FAE

=>\(\hat{FAK}=\hat{EAK}=\frac12\cdot\hat{FAE}=45^0\)

ABCD là hình vuông

=>CA là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{DCA}=\hat{BCA}=45^0\)

Xét ΔFAK và ΔFCA có

\(\hat{FAK}=\hat{FCA}\left(=45^0\right)\)

góc AFK chung

Do đó: ΔFAK~ΔFCA

=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FK}{FA}\)

=>\(FA^2=FK\cdot FC\)

b: Xét ΔAFK và ΔAEK có

AF=AE
\(\hat{FAK}=\hat{EAK}\)

AK chung

Do đó: ΔAFK=ΔAEK

=>KF=KE

ΔADF=ΔABE

=>DF=BE

CHu vi tam giác EKC là:

EK+KC+EC

=KF+KC+EC

=FC+EC

=DC+FD+EC

=DC+BE+EC

=DC+BC

=2BC không đổi