Question

Cho hình vuông abcd trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AM=AN, AH vuông góc với MD ,  \(H\in DM\) và AH cắt BC tại P. 

CMR: 5 điểm C,D,N,H,P thuộc 1 đường tròn.

mik cần gấp lắm!

Answer 1

Xét \(\Delta\)ADM và \(\Delta\)BAP có: ^DAM = ^ABP (=90⁰); AD = AB; ^ADM = ^BAP (Cùng phụ ^DAP)

=> \(\Delta\)ADM = \(\Delta\)BAP (g.c.g) => AM=BP (2 cạnh tương ứng) => BP=AN (Do AM=AN)

Xét tứ giác ABPN có: AN // BP; BP = AN; ^BAN = 90⁰ => Tứ giác ABPN là hcn

=> PN vuông góc AN hay PN vuông góc DN => ^PND = 90⁰ 

Xét tứ giác DNHP: ^PND = ^PHD (=90⁰) => Tứ giác DNHP nội tiếp đg tròn đường kính DP (1)

Xét tứ giác DHPC: ^DHP = ^DCP (=90⁰) => Tứ giác DHPC nội tiếp đg tròn đường kính DP (2)

Từ (1) và (2) => 5 điểm C;D;N;H;P cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

Answer 2

AH vuông góc DM

=>góc MAH=góc MDA

Xét ΔABP vuông tại B và ΔDAM vuông tại A có

AB=AD

góc MAH=góc MDA

=>ΔABP=ΔDAM

=>BP=AM=AN

mà BC=AD

nên PC=ND

=>PCND là hình chữ nhật

=>P,C,D,N cùng nằm trên đường tròn đường kính DP

mà H nằm trên đường tròn đường kính DP(góc DHP=90 độ)

nên C,D,N,H,P cùng thuộc 1 đường tròn