Question

Cho hình vuông ABCD, M thuộc BC. Đường thẳng AM cắt CD tại P, đường thẳng EK vuông góc với AM trong đó E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB và CD. Đường p/g của góc DAM cắt CD tại K.

a) CMR: EF=BM+DK.

b) CMR: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AP^2}\)

Answer 1

kẻ thêm \(AI\perp AP\left(AI\cap CD\left(I\right)\right)\)

\(\Rightarrow AD=AB\left(ABCDvuoong\right)\);góc ABM=góc ADI=90

ta có \(AE//FP\Rightarrow\) góc BAM=góc API(so le trong)

lại có: trong tam giác AIP vuông tại A có

góc AIP+ góc API=90

=>góc BAM+góc AIP=90(1)

lại có trong tam giác AID vuông tại D có góc DAI+góc AIP=90(2)

từ(1)(2)=>góc DAI=góc BAM

=>tam giác ABM=tam giác ADI(g.c.g)

=>BM=DI và AI=AM

do AK là phân giác DAM=>góc DAK=góc KAP

lại có: góc IAK=góc IAD+góc DAK

=>góc IAK=góc KAP+góc BAM=góc KAB

có góc KAB=góc AKI(so le trong)

=>góc IAK=góc AKI =>tam giác AIK cân tại I=>AI=IK

lại có AE\(//\)IF

\(AI\perp AP,EF\perp AP\Rightarrow AI//EF\Rightarrow\) AEFI là hình bình hành

\(\Rightarrow\)\(EF=AI=IK=ID+DK=BM+DK\left(đpcm\right)\)

\(b;\) xét tam giác AIP vuông tại A đường cao AD

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AP^2}\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AP^2}\)(do AD=AB;AI=AM)