1) \(DN=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}BC=CM\)
△ADN và △DCM có: \(\widehat{ADN}=\widehat{DCM}=90^0;AD=DC;DN=CM\)
\(\Rightarrow\)△ADN=△DCM (c-g-c).
\(\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{DMC}\)
\(\widehat{DEN}=180^0-\widehat{MDC}-\widehat{AND}=180^0-\widehat{MDC}-\widehat{DMC}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow\)AN⊥DM tại E.
△DEN và △DCM có: \(\widehat{DEN}=\widehat{DCM}=90^0;\widehat{MDC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△DEN∼△DCM (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{DN}{DM}\Rightarrow DC.DN=DE.DM\).
△DCB vuông cân tại C \(\Rightarrow DC=CB=BD\sqrt{2}\).
\(DC.DN=BD\sqrt{2}.\dfrac{BD\sqrt{2}}{2}=\dfrac{BD^2.2}{2}=BD^2\)
\(\Rightarrow DB^2=DE.DM\)
2) F là trung điểm AD, BF cắt AN tại G.
Tứ giác DFBM có: DF//BM, \(DF=BM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow\)DFBM là hình bình hành \(\Rightarrow\)DM//BF mà AN⊥DM.
\(\Rightarrow\)BF⊥AN tại G.
△AED có: FG//DE, F là trung điểm AD.
\(\Rightarrow\)G là trung điểm AE.
△ABE có: BG vừa là đường cao vừa là trung tuyến.
\(\Rightarrow\)△ABE cân tại B\(\Rightarrow AB=BE=CB\Rightarrow\)△BCE cân tại B.
Hạ BH⊥CE (H thuộc CE) \(\Rightarrow\)BH là phân giác \(\widehat{CBE}\).
\(\widehat{EBC}=2\widehat{HBC}=2\left(90^0-\widehat{ECB}\right)=2\widehat{ECD}\)
3) DM cắt AC tại K.
△DEN∼△DCM \(\Rightarrow\dfrac{EN}{CM}=\dfrac{DN}{DM}\Rightarrow\dfrac{EN}{NC}=\dfrac{NC}{AN}\)
△NEC và △NCA có: \(\dfrac{EN}{CN}=\dfrac{NC}{NA};\widehat{ANC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△NEC∼△NCA (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{NEC}=\widehat{NCA}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{CEM}=45^0\)
△CEK và △MOK có: \(\widehat{CEK}=\widehat{MOK}=45^0;\widehat{CKE}=\widehat{MKO}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\)△CEK∼△MOK (g-g).\(\Rightarrow\dfrac{KE}{KC}=\dfrac{KO}{KM}\)
△EOK và △CMK có: \(\dfrac{KE}{KC}=\dfrac{KO}{KM};\widehat{EKO}=\widehat{CKM}\)
\(\Rightarrow\)△EOK∼△CMK (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{OEK}=\widehat{MCK}=45^0\).
\(\Rightarrow\)EM là tia phân giác \(\widehat{OEC}\)
