Cho hình thang ABCD(AB//CD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm AD,BC. Phân giác góc A và góc B cắt EF theo thứ tự ở I và K
a) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BKF là tam giác cân
b) Chứng minh tam giác AID và tam giác BKC là tam giác vuông
c)Chứng mình: IE=\(\dfrac{1}{2}\)AD và KF=\(\dfrac{1}{2}\)BC
d)Cho AB=5cm, CD=15cm, AD=6cm, BC=7cm. Tính độ dài IK
a: Xét hình thang ABCD có
E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC
=>EF là đường trung bình của hình thang ABCD
=>EF//AB//CD
Ta có: AB//EI
=>\(\hat{BAI}=\hat{AIE}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{BAI}=\hat{EAI}\) (AI là phân giác của góc BAE)
nên \(\hat{EAI}=\hat{EIA}\)
=>ΔEAI cân tại E
Ta có: AB//KF
=>\(\hat{ABK}=\hat{BKF}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{AB}K=\hat{FBK}\) (BK là phân giác của góc ABF)
nên \(\hat{FBK}=\hat{FKB}\)
=>ΔFBK cân tại F
b: Ta có: EA=ED
EI=EA
Do đó; EI=ED
=>ΔEDI cân tại E
=>\(\hat{EDI}=\hat{EID}\)
Ta có: FB=FC
FK=FB
Do đó; FK=FC
=>ΔFKC cân tại F
=>\(\hat{FKC}=\hat{FCK}\)
Xét ΔAID có
\(\hat{AID}+\hat{IAD}+\hat{IDA}=90^0\)
=>\(\left(\hat{EIA}+\hat{EAI}\right)+\left(\hat{EID}+\hat{EDI}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\left(\hat{AIE}+\hat{DIE}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{AID}=180^0\)
=>\(\hat{AID}=90^0\)
=>ΔAID vuông tại I
Xét ΔBKC có \(\hat{BKC}+\hat{KBC}+\hat{KCB}=180^0\)
=>\(\left(\hat{FKB}+\hat{FBK}\right)+\left(\hat{FKC}+\hat{FCK}\right)=180^0\)
=>\(2\left(\hat{FKB}+\hat{FKC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{BKC}=180^0\)
=>\(\hat{BKC}=90^0\)
=>ΔKBC vuông tại K
c: ΔIAD vuông tại I
mà IE là đường trung tuyến
nên \(IE=\frac{AD}{2}\)
ΔKBC vuông tại K
mà KF là đường trung tuyến
nên \(KF=\frac{BC}{2}\)
TA có: \(EF=\frac{AB+CD}{2}\)
=>\(EF=\frac{5+15}{2}=10\left(\operatorname{cm}\right)\)
\(IE=\frac{AD}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)
\(KF=\frac{BC}{2}=\frac72=3,5\left(\operatorname{cm}\right)\)
EI+IK+KF=EF
=>IK=10-3-3,5=10-6,5=3,5(cm)
