Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là r, trong đó ba mặt tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.
A. r 1 + 3 + 2 3 3
B. r 2 + 3 + 2 6 3
C. r 1 + 3 + 2 6 3
D. r 1 + 6 + 2 6 3
Đáp án C
Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ)
Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r.
Goi I là tâm của tam giác A B C ⇒ S i ⊥ A B C .
Tam giác ABC đều cạnh 2 r ⇒ A I = 2 r 3 .
Tam giác SAI vuông tại I, có S I = S A 2 − I A 2 = 4 r 2 − 2 r 3 2 = 2 6 3 r .
Ta thấy rằng Δ S M H ~ A S I g . g suy ra
S M S A = S H A I ⇒ S M = S A . A H A N = 2 r . r 2 r 3 = r 3 .
Vậy chiều cao của khối nón là h = S M + S I + I D = r 3 + 2 6 3 r + r = r 1 + 3 + 2 6 3 .
