Question

Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C,   A ' C = a . Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng A ' C B  và A B C  để thể tích khối chóp A ' . A B C  lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp A ' . A B C  theo a

A. a 3 3 3

B. a 3 3 9

C. a 3 3 27

D. a 3 3 81

Answer 1

Đáp án C

 

 Ta có 

B C ⊥ A C , B C ⊥ A A ' ⇒ B C ⊥ A ' A C C ' ⇒ B C ⊥ A ' C .

 

Suy ra

A ' C B , A B C ^ = A ' C , A C ^ = A ' C A ^ = x , 0 < x < π 2 .  

Δ A ' A C  vuông tại B nên 

A A ' = A ' C . sin A ' C A ^ = a sin x ; A C = a cos x .

Suy ra 

V A ' . A B C = 1 3 . A A ' . S Δ A B C = 1 3 . a sin x . a cos x 2 2 = a 3 6 sin x cos 2 x .

Xét hàm số

f x = sin x cos 2 x = sin x 1 − sin 2 x trên 0 ; π 2 .  

Đặt t = sin x , do x ∈ 0 ; π 2 ⇒ t ∈ 0 ; 1 . Xét hàm số   g t = t 1 − t 2  trên  0 ; 1 .

Ta có

f ' t = 1 − 3 t 2 ; f ' t = 0 ⇔ t = ± 1 3 .

Do t ∈ 0 ; 1 nên  t = 1 3 .

Lập bảng biến thiên, suy ra max x ∈ 0 ; π 2 f x = max t ∈ 0 ; 1 g t = g 1 3 = 2 3 9 .  

Vậy V max = a 3 6 . 2 3 9 = a 3 3 27  (đvtt).