Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK

Answer 1

Từ K, D hạ đường vuông góc KN, DP xuống AC 

Xét tam giác BMK, ta có: 

BK^2=BC^2+CK^2 = BC^2+CD^2/4 (1) 
BM^2=BH^2+MH^2 = BH^2+ AH^2/4 (2) 
MK^2=MN^2+NK^2=MN^2+BH^2/4 (3) 

Ta có MN= MH-NH = AH/2-NH=AH/2-(CN-CH)=AH/2-AH/2+CH =CH (Do CN=CP/2=AH/2) 

=>MN =CH, thay vào (3) 
=> MK^2 = CH^2 +BH^2/4 (4) 

Để c/m ^BMK=90o, ta c/m BK^2 =BM^2 +MK^2 (*) 

Thay (1), (2), (4) vào (*), , ta được 

BC^2+CD^2/4= BH^2+AH^2/4+CH^2+BH^2/4 (**) 
Do BC^2= BH^2+CH^2 

(**) => CD^2/4= AH^2/4+BH^2/4 
=> CD^2=AH^2+BH^2 
=> AB^2 = AH^2+BH^2 , đúng do tam giác AHB vuông tại H 

Vậy ^BMK =90o

hay BMvuông góc vớ Mk