Chứng minh rằng AMBD là hình thang cân:
BDC^ = 30* => ADB^ = 60*
DM là phân giác của ADB^ => ADM^ = MDE^ = CDE^ = 30* (1)
=> DE là phân giác vừa là đường cao của Δ CDM (DE L CM) => Δ CDM cân
lại có: CDM^ = 60* => CDM là Δ đều
BCM^ = BDC^ = 30* ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
DE là trung trực của CM, B thuộc DE => BC = BM => BMC^ = BCM^ = 30*
=> MBD^ = 60* = ADB^ (*)
=> Δ ADM = Δ BCM ( MD=MC, AD=BC,BMC^ = BCM^ )
=> AMD^ = BMC^ = 30* (2)
(1) và (2) => AMD^ = BDM^ = 30* (BDM^ = MDE^)
=> AM // BD (**) ( AM và BD có 2 góc ở vị trí so le trong = nhau)
(*) và (**) => AMBD là hình thang cân
b) Gọi N là hình chiếu của M trên DA, K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng ba điểm N, K, E thẳng hàng.
gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD.,
Δ OBC là tam giác đều ( OB=OC và CBO^ = 60*) , CE L BO => E là trung điểm của BO.
cm trên có Δ ADM = Δ BCM => MA = MB mà MK L AB => K là trung điểm của AB
=> KE là đường trung bình của Δ BOM => KE // BM (***)
AKMN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) => MN //= AK => MN //= BK ( vì K là trung điểm AB)
=> BMNK là hình bình hành => NK // BM (****)
(***) và (****) => N,K,E thẳng hàng
NK // KE và có điểm K chung.
