Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm; hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt tia BC tại E.
a) Chứng minh rằng: ΔBDE đồng dạng với ΔDCE
b) Kẻ CH ⊥ DE tại H. Chứng minh rằng: DC2 = CH.DB
c) Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và tính tỉ số diện tích của ΔEHC và diện tích của ΔEDB
a/ Xét 2 tg vuông BDE và tg vuông DCE có
\(\widehat{DEB}\) chung
\(\widehat{DBE}=\widehat{CDE}\) (cùng phụ với \(\widehat{DEB}\) )
=> tg BDE đồng dạng với tg DCE (g.g.g)
b/ Xét tg vuông DCE có
\(DC^2=DH.DE\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông DHC và tg vuông BDE có
\(\widehat{DCH}=\widehat{DEB}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDE}\) )
=> tg DHC đồng dạng với tg BDE
\(\Rightarrow\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{CH}{DE}\Rightarrow DH.DE=CH.DB\)
\(\Rightarrow DC^2=CH.DB\)
c/
Ta có
\(BD\perp DE;CH\perp DE\) => CH//BD (cùng vuông góc với DE)
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{OD}=\dfrac{KC}{OB}\) (talet) \(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{OD}{OB}\)
Mà OD=OB (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{OD}{OB}=1\Rightarrow KH=KC\) => K là trung điểm của HC
Xét tg vuông BCD có
\(DB=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)
Ta có
\(DC^2=CH.DB\Rightarrow CH=\dfrac{DC^2}{DB}=\dfrac{8^2}{10}=6,4cm\)
\(\dfrac{S_{EHC}}{S_{EDB}}=\dfrac{\dfrac{EH.CH}{2}}{\dfrac{ED.DB}{2}}=\dfrac{EH.CH}{ED.DB}=k\)
Ta có
CH//DB (cmt)\(\Rightarrow\dfrac{EH}{ED}=\dfrac{CH}{DB}\)
\(\Rightarrow k=\left(\dfrac{CH}{DB}\right)^2=\left(\dfrac{6,4}{10}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\)
