Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh, a góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn cos α = 1 3 . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A. 0,11
B. 0,13
C. 0,7
D. 0,9
Đáp án A.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AB.
⇒ A B ⊥ S H O ⇒ S A B ; A B C D ^ = S H ; O H ^ = S H O ^ = α . ⇒ c o s α = 1 3 ⇒ tan α = 3 x 2 − 1 = 2 2 ⇒ S O = tan α × O H = a 2 .
Kẻ CM vuông góc với SD M ∈ S D ⇒ m p P ≡ m p A C M .
Mặt phẳng A M C chia khối chóp A.ABCD thành hai khối đa diện gồm M.ACD có thể tích là V 1 và khối đa diện còn lại có thể tích V 2 .
Diện tích tam giác SAB là S Δ S A B = 1 2 . S H . A B = a 2 . 3 a 2 = 3 a 2 4 .
Và
S D = S O 2 + D O 2 = a 10 2 ⇒ S Δ . S C D = 1 2 . S H . S D ⇒ C M = 3 a 10 .
Tam giác MCD vuông tại M ⇒ M D = C D 2 − M C 2 = a 10 ⇒ M D S D = 1 5 .
Ta có:
V M . A C D V S . A C D = M D S D = 1 5 ⇒ V M . A C D = V S . A B C D 10 ⇔ V 1 = V 1 + V 2 10 ⇔ V 1 V 2 = 1 9 .
