Question

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 2a,AD = a ,  ∆ S A D đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A.  16 π 3 a 2

B.  57 π 18 a 2

C.  48 π 9 a 2

D.  24 π 9 a 2

Answer 1

Đáp án A.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = A C ∩ B D , H là trung điểm AD.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm Δ S A D .

Đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABCD) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy (ABCD).

∆  qua G và vuông góc với (SAD) là trục của đường tròn ngoại tiếp (SAD).

Trong mặt phẳng (SHI), gọi I =  ∆ ∩ d

⇒ J  cách đều các đỉnh của hình chóp

⇒ J  là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

R = J D = O J 2 + O D 2 = G H 2 + O D 2

Có G H = 1 3 S H = 1 3 . a . 3 2 = a 3 6 ;

O D = 1 2 D B = a 5 2 ⇒ R = 3 a 2 56 + 5 a 2 4 = 4 3 a ⇒ S m c = 4 πR 2 = 16 3 a 2